Контрольная работа № 1

 

Задача 1

 

Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Решение:

Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1, В2 и В3. Соответственно Р(В1) = , Р(В2) = , Р(В3) = .

Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1(А) = 0,02, аналогично РВ2(А) = 0,03 и РВ3(А) = 0,04.

По формуле полной вероятности

Р(А) =

По формуле Бейеса

Ответ: РА(В3) = 0,1818

Задача 2

 

Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки

Р = .

Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим

Р5(3) + Р5(4) + Р5(5).

Pn(k) = ,

где р = 0,3 и q = 0,7.

Р5(3) = 0,1323

Р5(4) = 0,0284

Р5(5) = 0,0024

Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

Ответ: 0,1631

 

Задача 3

 

Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.

Решение:

а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.

Pn(k) = , где  =

Р2000(210) =

б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190.

Pn(k1;k2) = F(x’’) - F(x’),

х’’ = .

х’ = .

F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.

F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764.

P2000(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/

Ответ: а) Р2000(210) = 0,0224, б) Р2000(190;250) = 0,7763

 

Задача 4

 

Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:

Х:

xi

0 1 2

pi

0,3 ? 0,2

Y:

yi

1 2

pi

0,4 ?

Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).

Составить закон распределения случайной величины

Z = X*Y.

Проверить выполнение свойства математического ожидания:

M(Z) = M(X)*M(Y)

Решение:

Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5

Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6

Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y

xj

0 1 2

yi

pj

pi

0,3 0,5 0,2 1 0,4

0

0,12

1

0,2

2

0,08

2 0,6

0

0,18

20,3

4

0,12

zi

0 1 2 4

pi

0,3 0,2 0,38 0,12

Spi = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1

M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44

M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9

M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6

M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44.

Ответ:

 

Zi

0 1 2 4

Pi

0,3 0,2 0,38 0,12

Задача 5

 

Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

0 при х < -1,

F(x) = (х + 1)2 при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие .

Решение:

Найдем плотность распределения

0 при х < -1,

f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

М(х) =  

- математическое ожидание.

Р(х £ ) = Р( -1 £ х <  ) = F() – F( -1) =

Ответ: М(х) =  и Р(х < ) =

 

Контрольная работа № 4

 

Задача 1

 

При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту

Возраст (лет) Менее 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Более 70 Итого Количество пользователей (чел.) 8 17 31 40 32 15 7 150

Найти:

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);

б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.

Решение:

Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. ............